Cesium中的相机—齐次坐标与坐标变换

在前面几个章节中，我们仅仅讨论了两个坐标系之间的坐标转换矩阵，涉及到四元素、方向余弦阵、欧拉旋转等各种表现形式，但并没有涉及到两个坐标系的平移。

首先看两个坐标系之间的坐标转换矩阵： $$\begin{bmatrix} x_i\y_i \z_i \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x_b \y_b \z_b \end{bmatrix} \qquad(1)$$ \(M\)为3×3的矩阵。

如果两个坐标系之间仅仅是平移关系（原点不重合），则两坐标系的坐标关系: $$\begin{bmatrix} x_i\y_i \z_i \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_b \y_b \z_b \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} T_x \T_y \T_z \end{bmatrix} \qquad(2)$$

可以看出，式（1）和式（2）的形式不同。一个是矩阵与向量相乘，一个是两个向量相加。

在WebGL中，数据处理主要依赖于GPU，而不是CPU。而正如大多数人所知道的，GPU的处理速度之快得益于它可以高效地处理矩阵乘法和卷积。因此，无论是旋转变换还是平移变换，我们应尽量表达成矩阵运算，这样才能最大的高效利用GPU的优势。

而齐次坐标的引用可以使得诸如缩放、平移的计算全部转换为矩阵计算的形式，也就是说式（1）和式（2）的形式全部统一为矩阵形式，下面具体阐述。

齐次坐标

我们使用长度为3的数组表示一个点在坐标系中的坐标分量，如：（x, y, z）; 然而在表示一个向量的时候也是同样的表达方式：（x, y, z）。如果我们只看数组（x, y, z），鬼知道这是向量还是点，毕竟点与向量还是有很大区别的，点只表示位置，向量没有位置只有大小和方向。

为了区分点和向量我们给它加上一维，用长度为4的数组（x, y, z, w）来表达坐标，我们规定（x, y, z, 0）表示一个向量，（x, y, z, 1）表示一个点。这种用n+1维坐标表示n维坐标的方式称为齐次坐标。

设点P的齐次坐标为\([x,y,z,1]\) 使用齐次坐标可以将坐标的缩放、旋转、平移全部使用矩阵乘法表示:

缩放

P的位置在三个轴上分别缩放\([S_1,S_2,S_3]\): $$\begin{bmatrix} S_1 &0 &0 &0\ 0 &S_2 &0 &0\ 0 &0 &S_3 &0\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \y \z \1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} S_1 \cdot x \S_2\cdot y \S_3\cdot z \1\end{bmatrix}\qquad(3)$$

平移

P的位置平移\([T_x,T_y,T_z]\): $$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &T_x\ 0 &1 &0 &T_y\ 0 &0 &1 &T_z\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \y \z \1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x+T_x \y+T_y \z+T_z \1\end{bmatrix}\qquad(4)$$

旋转

P绕X轴旋转后的坐标： $$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0\ 0 &\cos\theta &-\sin\theta &0\ 0 &\sin\theta &\cos\theta &0\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \y \z \1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x\ \cos\theta \cdot y-\sin\theta \cdot z \ \sin\theta \cdot y+\cos\theta \cdot z \ 1\end{bmatrix}\qquad(5)$$ P绕Y轴旋转后的坐标： $$\begin{bmatrix} \cos\theta &0 &\sin\theta &0\ 0 &1 &0 &0 \ -\sin\theta &0 &\cos\theta &0\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \y \z \1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos\theta \cdot x+\sin\theta \cdot z \ y\ -\sin\theta \cdot x+\cos\theta \cdot z \ 1\end{bmatrix}\qquad(6)$$ P绕Z轴旋转后的坐标： $$\begin{bmatrix} \cos\theta &-\sin\theta &0 &0\ \sin\theta &\cos\theta &0 &0\ 0 &0 &1 &0\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \y \z \1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos\theta \cdot x-\sin\theta \cdot y \ \sin\theta \cdot x+\cos\theta \cdot y \ z\ 1\end{bmatrix}\qquad(7)$$

平移+旋转的齐次坐标转换矩阵

使用最多的是平移和旋转，见下图。

• 坐标系\(o'-x'y'z'\)初始时与坐标系\(o-xyz\)重合；
• 接着，坐标系\(o'-x'y'z'\)由原点\(o\)平移到\(o'\)处（即坐标系\(o'-xyz\)）；
• 再历经旋转到达现在的\(o'-x'y'z'\) 另\(oo'\)为矢量\(\vec{\rho}\)，对任意一点P，令\(oP\)为矢量\(\vec{r}\)，令\(o'P\)为矢量\(\vec{r'}\)，则有矢量关系式： \(\vec{r}=\vec{\rho}+\vec{r'}\qquad(8)\) 注意，上式为矢量关系式，如果表达为坐标关系式，则三个矢量必须表达为同一坐标系系下。 令\(oo'\)在\(o-xyz\)下的坐标为： $$\vec{\rho}=\begin{bmatrix} T_x \T_y \T_z \end{bmatrix} $$ 令点P在\(o-xyz\)下的坐标为： $$\vec{r}=\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix} $$ 令点P在\(o'-x'y'z'\)下的坐标为： $$\vec{r'}=\begin{bmatrix} x' \y' \z' \end{bmatrix} $$ 若定义旋转矩阵\(R\)为\(o'-x'y'z'\)到\(o-xyz\)的坐标转换矩阵，则有： $$\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} T_x \T_y \T_z \end{bmatrix} +R\cdot \begin{bmatrix} x' \y' \z' \end{bmatrix} \qquad(9)$$ 上式写成齐次坐标为(参见式4，将坐标平移写成矩阵与齐次坐标的相乘)： $$\begin{bmatrix} x \y \z \1\end{bmatrix}=T \cdot R\cdot \begin{bmatrix} x' \y' \z' \1\end{bmatrix} \=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 &T_x\ 0 &1 &0 &T_y\ 0 &0 &1 &T_z\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} U_x &V_x &N_x &0\ U_y &V_y &N_y &0\ U_z &V_z &N_z &0\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x' \y' \z' \1 \end{bmatrix} \=\begin{bmatrix} U_x &V_x &N_x &T_x\ U_y &V_y &N_y &T_y\ U_z &V_z &N_z &T_z\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x' \y' \z' \1 \end{bmatrix} \qquad(10)$$ 上式中，旋转矩阵\(R\)中，\(U_x,U_y,U_z\)为坐标系\(o'-x'y'z'\)的\(x'\)轴在坐标系\(o-xyz\)中的方向余弦（或者说坐标分量），\(V_x,V_y,V_z\)为坐标系\(o'-x'y'z'\)的\(y'\)轴在坐标系\(o-xyz\)中的方向余弦，\(N_x,N_y,N_z\)为坐标系\(o'-x'y'z'\)的\(z'\)轴在坐标系\(o-xyz\)中的方向余弦（或者说坐标分量），详细参考：Cesium中的相机—方向余弦阵。

因此，\(o'-x'y'z'\)到\(o-xyz\)的齐次坐标转换矩阵为：： $$C=\begin{bmatrix} U_x &V_x &N_x &T_x\ U_y &V_y &N_y &T_y\ U_z &V_z &N_z &T_z\ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\qquad(11)$$ 反之，坐标系\(o-xyz\)到\(o'-x'y'z'\)坐标系的齐次坐标转换矩阵为：： $$C^{-1}=\begin{bmatrix} U_x &U_y &U_z &-U\cdot T \ V_x &V_y &V_z &-V\cdot T \ N_x &N_y &N_z &-N\cdot T \ 0 &0 &0 &1\end{bmatrix}\qquad(12)$$

上面两式就是我们常用的齐次坐标转换矩阵。