Cesium中的相机—欧拉旋转

在Cesium中的相机—旋转矩阵一文中，我们给出了对于绕某个轴旋转的旋转矩阵，并给出了两种旋转方式的区别。

本文讨论连续旋转的旋转矩阵，仍然给出两种旋转的区别。

下图中，原始坐标系\(o-xyz\)为蓝色所示，经过三次欧拉旋转后得到最终的坐标系\(o-XYZ\)（图中红色）。

三次旋转为：

1. 首先绕Z轴旋转\(\alpha\)角度，此时X轴指向N；
2. 然后绕新的坐标系的X轴（N方向）旋转\(\beta\)角度，此时将原来的Z轴旋转至红色的Z轴方向；
3. 最后再绕新的坐标系的Z轴（红色）旋转\(\gamma\)角度，得到最终的坐标系\(o-XYZ\)（图中红色）。 则坐标系\(o-xyz\)到坐标\(o-XYZ\)的旋转矩阵可由三次旋转矩阵相乘得到，每次旋转的角度称为欧拉角。

下面仍然分两种方式，分别给出，以便区别。

第一种旋转矩阵(仅坐标系旋转)

若以\(\begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T}\)表示点P在原坐标系\(o-xyz\)中的坐标分量，\(\begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T}\)表示点P在旋转后的坐标系\(o-XYZ\)中的坐标分量，则有： $$\begin{bmatrix} {x}'\{y}' \{z}' \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}= M_z(\gamma)\cdot M_x(\beta)\cdot M_z(\alpha)\cdot\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix} (1)$$ 旋转矩阵\(M\)是将点P在原坐标系中的坐标分量转换到新坐标系中的坐标分量。

第二种旋转矩阵(点或矢量随坐标系一起旋转)

以\(\begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T}\)表示点P在旋转后坐标系\(o-XYZ\)中的坐标分量（始终不变），\(\begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T}\)表示点P旋转后在原坐标系\(o-xyz\)中的坐标分量，则有： $$\begin{bmatrix} {x}'\{y}' \{z}' \end{bmatrix}= M\cdot\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}= M_z(\alpha)\cdot M_x(\beta)\cdot M_z(\gamma)\cdot\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix} (2)$$ 点P始终随坐标系\(o-XYZ\)一起旋转，因此坐标分量始终为\(\begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T}\) 旋转矩阵\(M\)是将点P在旋转后坐标系\(o-XYZ\)（也可看成体坐标系）中的坐标分量转换到旋转前的原坐标系中的坐标分量。

注意！上述两式中，基础旋转矩阵刚好互逆，即式（1）和式（2）中的\(M_z(\alpha)\)(其它类似)是不同的，刚好互为转置，详细形式参见Cesium中的相机—旋转矩阵。

Cesium中，采用第二种旋转矩阵的形式！