\[ ## 四元素的矩阵表示 给定四元素（即旋转轴和旋转角度），则对应的坐标轴旋转矩阵也可写出，这里仍分别写出两种形式。 ### 第一种旋转矩阵(仅坐标系旋转) 若以$\begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T}$表示点P在原坐标系$o-xyz$中的坐标分量，$\begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T}$表示点P在旋转后的坐标系$o-XYZ$中的坐标分量，则有： $$\begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= M(q)\cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix} \qquad(2)$$ 其中，由四元素表示的旋转矩阵$M$形式为： $$M(q)= \begin{bmatrix} {q}_{0}^{2}+q_1^2-q_2^2-q_3^2 &2(q_1q_2+q_0q_3) &2(q_1q_3-q_0q_2) \\2(q_1q_2-q_0q_3) &q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 &2(q_0q_1+q_2q_3) \\2(q_0q_2+q_1q_3) &2(q_2q_3-q_0q_1) &q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \end{bmatrix} \qquad(3)$$ **旋转矩阵$M$是将点P在原坐标系中的坐标分量转换到新坐标系中的坐标分量**。 ### 第二种旋转矩阵(点或矢量随坐标系一起旋转) 以$\begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T}$表示点P在旋转后坐标系$o-XYZ$中的坐标分量（始终不变），$\begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T}$表示点P旋转后在原坐标系$o-xyz$中的坐标分量，则有： $$\begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= M(q)\cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}\qquad(4)$$ 其中，由四元素表示的旋转矩阵$M$形式为： $$M(q)= \begin{bmatrix} q_0^2+q_1^2-q_2^2-q_3^2 &2(q_1q_2-q_0q_3) &2(q_0q_2+q_1q_3) \\ 2(q_1q_2+q_0q_3) &q_0^2-q_1^2+q_2^2-q_3^2 &2(q_2q_3-q_0q_1) \\ 2(q_1q_3-q_0q_2) &2(q_0q_1+q_2q_3) &q_0^2-q_1^2-q_2^2+q_3^2 \end{bmatrix}\qquad(5)$$ 点P始终随坐标系$o-XYZ$一起旋转，因此坐标分量始终为$\begin{bmatrix} x,y,z\end{bmatrix}^{T}$ **旋转矩阵$M$是将点P在旋转后坐标系$o-XYZ$（也可看成体坐标系）中的坐标分量转换到旋转前的原坐标系中的坐标分量**。 **注意！上述两式中，基础旋转矩阵刚好互逆，即式（3）和式（5）中的$M$是不同的，刚好互为转置。 **Cesium中，采用第二种旋转矩阵的形式！** ## 四元素的乘法 **这里仅仅给出第二种旋转矩阵(点或矢量随坐标系一起旋转)的四元素乘法。** - 假设原始坐标系为$o-xyz$，绕旋转轴（旋转轴矢量为$[x_1,y_1,z_1]^T$）旋转$\alpha_1$角度，得到最终的坐标系$o-X'Y'Z'$，定义此旋转的四元素为$q_1$ - 接着再从坐标系$o-X'Y'Z'$开始，绕旋转轴（旋转轴矢量为$[x_2,y_2,z_2]^T$）旋转$\alpha_2$角度，得到最终的坐标系$o-XYZ$，定义此旋转的四元素为$q_2$ - 则从原坐标系$o-xyz$到最终的坐标系$o-XYZ$的旋转可以用一次旋转完整，其四元素$q$可表示为$q_1$和$q_2$的乘积，即： $$q_1\cdot q_2= \begin{bmatrix}w_1\\x_1 \\y_1 \\z_1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}w_2\\x_2 \\y_2 \\z_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}w_1w_2 -x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2 \\w_1 x_2+x_1 w_2+y_1 z_2-z_1 y_2 \\w_1 y_2-x_1 z_2+y_1 w_2+z_1 x_2 \\w_1 z_2+x_1 y_2-y_1 x_2+z_1 w_2 \end{bmatrix} \qquad(6)$$ 某点P经两次旋转后，在原坐标系$o-xyz$中的坐标$\begin{bmatrix} x',y',z'\end{bmatrix}^{T}$为： $$\begin{bmatrix} {x}'\\{y}' \\{z}' \end{bmatrix}= M(q_1)\cdot M(q_2) \cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}= M(q_1\cdot q_2) \cdot\begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix}\qquad(7)$$ ## 小结 在使用四元素表示两个坐标系之间的旋转关系时，需要注意四元素转换为旋转矩阵的具体形式，是第一类旋转（式（3））还是第二类旋转式（5）。 此外，连续两个四元素的乘积也有区别的，本文仅仅给出第二类旋转方式。 此处再次强调，**Cesium中，采用第二种旋转矩阵的形式！** \]