椭球面系列---射线与椭球面的交点

射线与椭球体的交点问题的求解是一个非常常见和经典的问题，本文给出具体的计算原理和矩阵表达的过程，便于编程计算。

见下图，已知射线(点为\(\mathbf{p}_0\)，单位方向为\(\mathbf{d}\))，那么与椭球面的交点\(\mathbf{p}\) 的笛卡尔坐标。

在继续计算前，记住之前我们的假设：椭球面和直线等坐标都是在椭球为中心的笛卡尔坐标系下。

有关椭圆的基础性质，请参考：椭球面系列---基本性质！！

射线与椭球体的交点

首先，射线上任意一点\(\mathbf{p}\)与\(\mathbf{p}_0\)的距离为\(t\)，则\(\mathbf{p}\)可表示为：

\[ \mathbf{p}=\mathbf{p}_0+t\mathbf{d} \]

\(\mathbf{p}\)在椭球面上，则需满足椭球面方程：

\[ \mathbf{p}^T\mathbf{C}\mathbf{p}=1 \]

则有：

\[ (\mathbf{p}_0+t\mathbf{d})^T\mathbf{C}(\mathbf{p}_0+t\mathbf{d})=1 \]

化简可得:

\[ (\mathbf{d}^T\mathbf{C}\mathbf{d})t^2+2(\mathbf{p}_0^T\mathbf{C}\mathbf{d})t+\mathbf{p}_0^T\mathbf{C}\mathbf{p}_0-1=0 \]

上式为典型的关于\(t\)的一元二次方程：

\[ at^2+bt+c=0 \]

其中:

\[ \begin{cases} a=\mathbf{d}^T\mathbf{C}\mathbf{d} \\ b=2\mathbf{p}_0^T\mathbf{C}\mathbf{d} \\ c=\mathbf{p}_0^T\mathbf{C}\mathbf{p}_0-1 \end{cases} \]

最终得到距离\(t\)的解（最多2个解）：

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

显然：

\(b^2 - 4ac>0\)时，表示射线与椭球面有两个交点。
\(b^2 - 4ac=0\)时，表示射线与椭球面相切。
\(b^2 - 4ac<0\)时，表示射线与椭球面不相交。

当\(t\)求得后，带入式(1)即可得到\(\mathbf{p}\)点的坐标。

椭球面系列---射线与椭球面的交点

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